Progressão Aritmética (P.A.)

Antes de fornecer a definição matemática da Progressão Aritmética (P.A.), vamos imaginar a seguinte situação:
João está sem dinheiro. Seus pais pretendem ajudá-lo dando R$ 2,00 reais por dia. Consideramos que João não gaste o dinheiro no decorrer dos dias e que ele começou a receber a mesada no dia 01. Então João terá:
1º dia: R$ 2,00;
2º dia: R$ 4,00;
3º dia: R$ 6,00;
E assim sucessivamente.
João é um garoto curioso. Ele gostaria de saber quanto ele teria de dinheiro transcorrido 25 dias. Como fazer isso?

Definição

Progressão Aritmética (P.A.) é uma seqüência onde a diferença entre 2 termos é uma constante. Essa constante denomina-se razão e é representada pela letra r.

Vejamos como isso funciona no problema mostrado acima. Vamos representar os ganhos de João por dia desta forma: (2, 4, 6, ...) onde 2 é o termo a₁, 4 é o termo a₂ e 6 o termo a₃. Perceba que se eu subtrair a quantidade de dinheiro que João possui no 2º dia (R$ 4,00) com o 1º dia (R$ 2,00), obterei como resultado R$ 2,00. O mesmo acontece se eu fizer a subtração do 3º dia (R$ 6,00) com o 2º dia (R$ 4,00). Então podemos concluir que a razão r vale 2.

Classificação

Podemos classificar uma P.A. em crescente (r > 0), decrescente (r < 0) ou constante (r = 0).

A quantidade de dinheiro de João é uma P.A. crescente (r > 0).

Termo Geral

Representamos o termo geral por a_n. Onde conhecidas a razão e um termo, podemos obter qualquer outro. Podemos obter um termo n através da seguinte relação: a_n = a₁ + (n – 1) . r

João quer saber quanto de dinheiro ele terá daqui 25 dias. (2, 4, 6, .... a₂₅) => (Dia 01, Dia 02, Dia 03, .... Dia 25). Vamos descobrir usando a fórmula:
a_n = a₁ + (n – 1) . r
a₂₅ = 2 + (25 – 1) . 2
a₂₅ = 50

Logo João terá R$50,00.

Soma dos Termos

Podemos calcular a soma de n termos de uma progressão aritmética pela seguinte fórmula: S_n = (a₁ + a_n) . n / 2

Considere a seguinte Progressão Aritmética (P.A.): (1, 2, 3). Podemos calcular a soma desses termos pela fórmula apresentada acima:
S_n = (a₁ + a_n) . n / 2
S₃ = (1 + 3) . 3 / 2
S₃ = 6

Propriedades

Dados três termos consecutivos quaisquer, o termo médio é a média aritmética dos outros dois.

Considere a seguinte Progressão Aritmética (P.A.): (1, 2, 3). Podemos calcular o termo médio desta forma:
a₂ = (a₁ + a₃) / 2
a₂ = (1 + 3) / 2
a₂ = 2

VESTIBULANDOS

Os melhores vestibulares do país costumam dar enunciados desse tipo:
'Tem-se uma progressão aritmética de 3 termos cuja soma vale 6....'. Para começar a resolução deste problema, você pode usar os artifícios. Escreva a progressão desta forma: (a₁, a₂, a₃) => (x – r, x, x + r).

Logo: (x – r) + x + (x + r) = 6
x = 3